Когда в 1995 году на экраны вышла драма «Под знаком Скорпиона», Игорь Владимирович сказал своей супруге, что эта роль — самая лучшая в его биографии.
Первый раз Игорь Кваша снялся в кино в 1961 году в роли танкиста Тавризяна в фильме «Сержант Фетисов». Но полюбили его зрители за созданные им на экране комедийные образы зубного врача Мережковского в «Похождениях зубного врача», атамана Лагутина в «Достоянии республики», и вратаря Кротова в «Жребии». Именно за эти роли Кваша получил звание заслуженного артиста РСФСР.
Знал бы он, двенадцатилетний мальчишка, когда в 1941 году, в эвакуации, в Сибири он выходил на сцену в постановке сказки «Морозко», что спустя двадцать лет его начнут узнавать на улицах и просить автограф. А тогда, в 1941 году, выступая перед раненными бойцами в госпитале, Игорь очень хотел попасть на фронт. Они с приятелем даже сбежали из дома, но их быстро поймали. Учился Игорь Кваша не очень хорошо, на уроках зачастую вел себя вызывающе, хулиганил, но пользовался авторитетом среди сверстников. Именно тогда он понял, что ему нравится привлекать к себе внимание.
Мать Игоря, Дора Захаровна много работала, у нее физически не было времени заниматься сыном. Будущий актер практически рос на улице. Когда закончилась война, мать с сыном вернулись в Москву и стали жить на Арбате. В то время Арбат считался бандитским районом. Чтобы как-то отвлечь сына от улицы, мать водила мальчика на спектакли. Дора Захаровна, видя, как сыну нравится театр, посоветовала ему пойти в театральную студию при Доме пионеров. Игорь прислушался к совету матери и через какое-то время перестал общаться с дворовыми хулиганами. Он стал много читать и мечтать о профессии актера.
В 1950 году Игорь Кваша поступил в Школу-студию МХАТ, в мастерскую А. М. Карева. Учеба занимала все время, а в свободные от учебы минуты Кваша брал уроки верховой езды на ипподроме. Любовь к лошадям и умение держаться в седле очень пригодились в кино: большинство трюков в кино он исполнял сам, чем всегда восхищал режиссеров и коллег по площадке. Его сокурсниками были Галина Волчек, Людмила Иванова, Ирина Скобцева, Леонид Броневой, Анатолий Кузнецов.
Во время дипломного спектакля Кваша признался своему другу, что очень сожалеет, что его отец не может увидеть его на сцене, — он погиб на войне в 1942 году, когда Игорю было 9 лет.
В 1955 году Игорь Владимирович пришел в МХАТ и проработал там два года. Именно там он и познакомился с человеком, который сильно повлиял на его актерскую судьбу. Это был Олег Ефремов — человек невероятного таланта и бешеной энергии. Именно он был одержим идеей создать новый театр «Современник». Ему удалось заразить этой идеей своих коллег и уже в 1956 году выпускники Школы-студии МХАТ превзошли сами себя, поставив спектакль по пьесе В. Розова «Вечно живые». Зрительские овации, казалось, длились бесконечно, настолько все были потрясены увиденным на сцене. Именно после этого спектакля было принято решение создать свой коллектив и назвать его «Студия молодых актеров», который потом перерос в театр «Современник», названный в честь литературного журнала, созданного А.С. Пушкиным.
Игорь Владимирович сыграл в «Современнике» более 50-ти ролей. И все они запомнились зрителям. Это и Гаев в «Вишневом саде», и Лестер в «Играем... Шиллера!», и Мольер в «Кабале святош», и папаша Карамазов в спектакле «Карамазовы и ад», и Верховенский в «Бесах» и многие другие герои.
Зрители с восторгом воспринимали его игру. Он всегда уходил со сцены с огромной охапкой цветов. В родном «Современнике» Игорь Владимирович как режиссер поставил спектакль «Сирано де Бержак». В главной роли были задействованы Людмила Гурченко, которую Кваша всегда возводил на пьедестал, и он сам, вторым составом он взял на свою роль Михаила Козакова. Художником выступил Борис Мессерер. На этот спектакль ходила вся Москва.
В кино карьера Игоря Кваши складывалась не всегда легко. В конце 60-х его внесли в «черные списки» из-за дружбы с писателями, основавшими альманах «Метрополь» — поводом послужила его подпись в письме против ввода советских войск в Чехословакию. Фильмы с участием Игоря Кваши положили на полку. Для актера, который живет творчеством, это смерти подобно. Игорь Владимирович очень переживал по этому поводу, но от своих принципов ни разу не отказался.
И за эту позицию он был вознагражден — был реабилитирован в середине 70-х и сразу же вернулся на экран в образе гусара-любовника Тавернье в музыкальной комедии «Соломенная шляпка». А в 1978 году Кваша получил звание народного артиста РСФСР.
На счету Игоря Владимировича в кино в более ста картин. Самые знаменитые — «Тот самый Мюнхгаузен», «Человек с бульвара Капуцинов» и «Сердца трех» — зрители навсегда запомнили образы, созданные Игорем Квашой.
С начала 2000-х актер выборочно подходил к предлагаемым проектам. Выбирал только те сценарии, которые были ему по душе. Он появился в сериале «Марш Турецкого», в мелодраме «Другая женщина, другой мужчина» и других многосерийных сериалах. В 2005 году Игорь Владимирович сыграл в киноленте «Ленинградец».
Роль в документальном фильме «Глаз Божий» для Игоря Кваши стала последней. В фильме рассказывается об истории музея имени А.С. Пушкина. Вот так и закольцовывается творческая жизнь Игоря Владимировича. После МХАТа был «Современник», названный в честь литературного журнала, основанного А.С.Пушкиным, и последняя работа была посвящена великому поэту, и любимым сочинением артиста была «Пиковая дама» Александра Пушкина.
Судьба уготовила для Игоря Владимировича еще одну важную роль — стать ведущим телепередачи «Жди меня». Когда Игорю Владимировичу поступило предложение стать ведущим этой передачи, он поставил себя на место тех людей, которые пытаются найти своих родных и близких, ведь сам много лет безрезультатно искал могилу отца. Кваша отдал этой передаче 14 лет и каждая встреча родных людей была и его маленькой победой.
